المحتوي
المثلثات
المثلّثات هي إحدى الأشكال الأساسيّة المُستخدمة في الهندسة الإقليديّة؛ حيثُ يجب أن تتوافر ثلاث عوامل في المُثلَّث، هي:[١]
- أن يكون له ثلاثة أضلاع.
- أن يكون شكله ثنائي الأبعاد.
- مجموع زواياه 180 درجة.
ويمكن تصنيف المثلّثات بطريقتين، هما:[١]
- تبعاً لأضلاعه.
- تبعاً لزواياه.
مساحة المثلث
إنَّ مساحة المضلع هي عبارة عن عدد الوحدات المُربّعة داخل هذا المُضلَّع، وتُعتبر المساحة منطقة ثُنائيّة الأبعاد (كالسجادة أو البساط)، ويُعتَبَر المُثلَّث مُضلّعاً ذات ثلاثة جوانب. لإيجاد مساحة المثلّث؛ يتمّ ضرب طول قاعدته بالارتفاع، ومن ثم القسمة على 2، وسبب القسمة على 2 يأتي من حقيقة أنَّ متوازي الاضلاع يمكن تقسيمه إلى مُثلّثَين مُتساويين في المساحة. يمكن التعبير عن مساحة المثلَّث بالمعادلة التالية:[٢]
مساحة المثلّث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع
كما ويمكن إيجاد مساحة المثلَّث أيضاً بمعرفة ثلاثة أضلاع للمُثلَّث دون ارتفاعه، ويتمّ ذلك بتطبيق صيغة هيرو كالتالي:[٣]
- حساب محيط المُثلّث = مجموع طول الأضلاع.
- حساب المعامل هـ = المحيط / 2
- استخدام الصيغة التالية:
المساحة = الجذر االتربيعيّ (هـ × (هـ - طول الضلع الأول) × (هـ - طول الضلع الثاني) × (هـ - طول الضلع الثالث))
وتوجد طريقة أخرى أيضاً من أجل حساب مساحة المثلّث، وهي تتطلَّب معرفة أطوال ضلعَين من أضلاع المثلّث الثلاثة، إضافةً لمعرفة قيمة الزاوية المحصورة بين هذين الضلعَين، وهناك ثلاث قوانين يمكن استخدامهم تبعاً للمعطيات، وهي:[٤]
- مساحة المثلّث = 1/2 × طول الضلع الأوّل × طول الضلع الثاني × جاس؛ حيث إنَّ الزاوية س هي التي تكون محصورة بين الضلعين الأوّل والثاني.
- مساحة المثلّث = 1/2 × طول الضلع الثاني × طول الضلع الثالث × جاص؛ حيث إنَّ الزاوية ص هي التي تكون محصورة بين الضلع الثاني والثالث.
- مساحة المثلّث = 1/2 × طول الضلع الأوّل × طول الضلع الثالث × جاع؛ حيث إنَّ الزاوية ع هي التي تكون محصورة بين الضلع الأوّل والثالث.
أمثلة على إيجاد مساحة المثلُّث
- مثال (1): مثلَّث حادّ الزاوية، فيه طول القاعدة 15 سم والارتفاع 4 سم. جد مساحته.
الحل: بتطبيق قانون مساحة المثلَّث، فإنَّ الناتج يكون كالتالي:[٢] مساحة المثلّث = 1/2 × 15 × 4 = 30 سم2.
- مثال (2): مثلّث قائم الزاوية، طول قاعدته 6 سم وارتفاعه 9 سم. جد مساحته.
الحل: بتعويض المُعطيات بقانون مساحة المثلَّث، فإنَّ الحال يكون كالتالي:[٢] مساحة المثلّث = 1/2 × 6 × 9 = 27 سم2.
- مثال (3): مثلّث منفرج الزاوية، طول قاعدته يبلغ 5 سم، أمّا ارتفاعه فيبلغ 8 سم. جد مساحته.
الحل: باستخدام قانون مساحة المثلّث وتعويض القيم 5 و 8 فيه، فالناتج يكون كالتالي:[٢] مساحة المثلّث = 1/2 × 5 × 8 = 20 سم2.
- مثال (4): سجّادة مُثلّثة الشكل، مساحتها 18 سم2، وطول قاعدتها 3 سم. جد ارتفاعها.
الحل: إنَّ المجهول هو ارتفاع المُثلَّث، ولكن هناك معطيين، وهما المساحة، بالإضافة لطول القاعدة، وبتعويض هذين المعطيين في قانون مساحة المُثلّث، فإنَّ الناتج سيكون كالتالي:[٢] 18 = 1/2 × 3 × الارتفاع بضرب طرفيّ المُعادلة بالعدد 2 (من أجل التخلُّص من العدد 1/2 المُصاحب للارتفاع)، فإنَّ الناتج سيصبح: 36 = 3 × الارتفاع بقسمة طرفي المعادلة على العدد 3، فإنَّ الناتج سيكون: الارتفاع = 12 سم.
- مثال (5): مثلّث متساوي الأضلاع، فيه طول الضلع يساوي 5 سم. جد مساحته.
الحل: باستخدام صيغة هيرو، فيتم إيجاد المُحيط أولاً كالتالي:[٣] محيط المثلّث = 5 + 5 + 5 = 15 سم. ومن ثُمَّ يتم إيجاد المعامل هـ كالتالي: المعامل هـ = 15/2 = 7.5 أخيراً، يتم تطبيق الصيغة كالتالي: المساحة = الجذر التربيعي (7.5 × (7.5 - 5) × (7.5 - 5) × (7.5 - 5)) = 10.825 سم2.
- مثال (6): مثلّث طول ضلعه الأوّل يساوي 7، وطول الضلع الثاني يساوي 10، ومقدار الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين تساوي 25 درجة. جد مساحة هذا المثلّث.
الحل: يتم استخدام القانون الذي يحتوي على جيب الزاوية، وبتعويض القيم المُعطاة، فإنَّ الناتج يكون كالتالي:[٤] مساحة المثلّث = 1/2 × 7 × 10 × جا25 = 35 × 0.4226 = 14.8 تقريباً.
أنواع المثلّث
حسب الأضلاع
يمكن تصنيف المثلّثات تبعاً لأضلاعها إلى ثلاثة أنواع، وهذه الأنواع هي:[١]
- مثلّث متساوي الأضلاع: إنَّ جميع الأضلاع في هذا النوع من المثلّثات تكون متساوية في الطول، وهذا يعني أنَّ زواياه أيضاً متساوية، وقياس كلٍّ منها 60 درجة.
- مثلّث متساوي الساقين: يمتلك هذا النوع من المثلّثات ساقين متساويين في الطول، كما أنَّ الزاويتين المحصورتين عند تلاقي هذين الساقين بالضلع الثالث أيضاً متساويتين.
- مثلّث مختلف الأضلاع: لهذا المثلّث ثلاثة أضلاع مختلفة في الطول، وهذا يعني أنَّ الزوايا أيضاً تكون مختلفة.
حسب الزوايا
يمكن تصنيف المثلّثات تبعاً لزواياها إلى ثلاثة أنواع، هي:[١]
- مثلّث حاد الزوايا: في هذا المثلّث تكون أكبر زاوية فيه حادّة (أي أقلّ من 90 درجة)؛ وهذا يعني أنَّ جميع زواياه حادّة.
- مثلّث قائم الزاوية: تكون هناك زاوية قائمة (أي أنَّ قيمتها 90 درجة) واحدة في هذا المثلَّث؛ ولهذا، فإنَّ الزاويتين الأخرتين تكون حادّة.
- مثلّث منفرج الزاوية: تكون هناك زاوية منفرجة (أي أنَّ قيمتها أكبر من 90 درجة) واحدة في هذا المثلَّث؛ وهذا يعني أنَّ الزاويتين المتبقيتين تكون حادّة.
الاقترانات المُثلّثيّة
إنَّ الاقترانات المُثلّثيّة (بالإنجليزيّة: trigonometric functions) هي اقترانات للزاوية الحادّة المُقابلة للزاوية القائمة في المُثلَّث قائم الزاوية؛ حيثُ تُمثّل النسبة بين قيمتيّ ضلعين في هذا المثلث، وتُوجَد ثلاث اقترانات مثلّثيّة أساسيّة، هي: الجيب (يُرمَز له جا)، وجيب التمام (يُرمَز له جتا)، والظل (يُرمز له ظا)، كما وتُوجد ثلاث اقترانات أخرى مُشتقّة من الاقترانات المُثلّثيّة الأصليّة، وهي: القاطع (يُرمز له قا)، وقاطع التمام (يُرمز له قتا)، وظل التمام (يُرمز له ظتا). لو تمّ الافتراض بأنَّ الزاوية الحادّة في المُثلَّث قائم الزاوية يُرمز لها بالحرف (س)، فإنَّ هذه الإقترانات يُعبَّر عنها كالتالي:[٥]
- جاس = الضلع المُقابِل للزاوية س / الوَتَر.
- جتاس = الضلع المُجاور للزاوية س / الوَتَر.
- ظاس = الضلع المُقابِل للزاوية س / الضلع المُجاور للزاوية س، كما ويُمكِن قسمة جاس على جتاس للحصول على نفس الناتج.
- قاس = الوتر / الضلع المُجاور للزاوية س.
- قتاس = الوتر / الضلع المقابل للزاوية س.
- ظتاس = الضلع المُجاور للزاوية س / الضلع المُقابل للزاوية س، كما ويُمكن قسمة جتاس على جاس للحصول على نفس الناتج، كما ويمكن قسمة قتاس على قاس.
المراجع
- ^ أ ب ت ث mary elizabeth (2-2-2017), "what is a triangle?"، wisegeek, retrieved 3-3-2017. edited.
- ^ أ ب ت ث ج "area of a triangle", math goodies, retrieved 3-3-2017. edited.
- ^ أ ب "heron's formula", mathisfun, retrieved 3-3-2017. edited.
- ^ أ ب "area of triangles without right angles", mathisfun, retrieved 3-3-2017. edited.
- ↑ "trigonometry functions - introduction", math open reference, retrieved 3-3-2017. edited.
المقالات المتعلقة بطريقة حساب مساحة المثلث
