قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع

المثلّث متساوي الأضلاع

المثلّث هو أحد الأشكال الهندسيّة الأساسيّة ثنائيّة الأبعاد، يتكوّن من ثلاث رؤوس ترتبط فيما بينها بقطعٍ مستقيمةٍ تُسمّى أضلاع المثلّث، والمثلّثات أنواع عدّة فمنها: مختلفة الأضلاع، ومتساوية السّاقين، ومتساوي الأضلاع، والمثلث متساوي الأضلاع والّذي يُسمّى مثلّثاً منتظماً، وهو حالة خاصّة للمثلث؛ إذ إنّ أضلاعه جميعها متساوية في الطّول، وتَكون زواياه جميعها متساوية أيضاً، وقيمة كلّ منها 60 درجة.

خصائص المثلّث متساوي الأضلاع

• تتساوى أطوال جميع أضلاعه وزواياه.
• يُمثّل العمود النّازل من رأس المثلّث باتّجاه القاعدة ارتفاعَ المثلّث.
• ارتفاع المثلّث متساوي الأضلاع يُنصّف القاعدة.
• يتعامد المتوسّط في المثلّث متساوي الأضلاع على الضّلع الذي يُنصفّه، والمتوسّط في المثلّث هو القطعة المستقيمة الواصلة بين أحد رؤوس المثلّث ومنتصف الضّلع المقابل لهذا الرّأس.
• مجموع أطوال المسافات بين أيّ نقطة داخل المثلّث وأضلاع المثلّث الثلاثة تساوي ارتفاع هذا المثلّث.

حساب مساحة المثلّث متساوي الأضلاع

مساحة المثلّث متساوي الأضلاع تساوي نصف طول قاعدة المثلّث مضروبة في ارتفاعه، وبما أنّ المثلّث هنا مُتساوي الأضلاع فإنّ طول القاعدة مساوٍ لطول أيٍّ من أضلاعه الثلاثة، وارتفاعه يَتمثّل في العمود النّازل من رأس المثلّث باتجاه قاعدته.

مساحة المثلّث=1/2×طول القاعدة×الارتفاع

• مثال (1): جِد مساحة مثلث متساوي الأضلاع إذا علمت أنّ طول ضلعه يساوي 7سم، وارتفاعه يساوي 12سم.

الحلّ: من خصائص المثلّث متساوي الأضلاع المذكورة نجد أنّ أطوال أضلاعه جميعها متساوية، أي إنّ طول ضلعه يساوي طول قاعدته، وعليه فإنّ: مساحة المثلّث=1/2×طول القاعدة×الارتفاع مساحة المثلّث=1/2×7×12 مساحة المثلّث=42 سم2.

• مثال (2): إذا علمت أنّ مساحة مثلث متساوي الأضلاع تساوي 75م2، وطول ضلعه يساوي 10م، فاحسب طول العمود النازل من رأس المثلّث إلى قاعدته.

الحلّ: من خصائص المثلّث متساوي الأضلاع نجد أنّ طول العمود النازل من رأس المثلّث نحو قاعدته يُمثّل ارتفاع المثلّث، وعليه فإنّ: مساحة المثلّث=1/2×طول القاعدة×الارتفاع 75=1/2×10×ع ارتفاع المثلّث=(75×2)/10= 15م.

• مثال (3): إذا علمت أنّ ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع يساوي 8سم، فما هي مساحته؟

الحلّ: مساحة المثلّث=1/2×طول القاعدة×الارتفاع من خصائص المثلّث متساوي الأضلاع أن ارتفاع المثلّث ينصّف القاعدة، لذا نفترض أنّ طول نصف القاعدة يساوي (س)، ونطبّق نظريّة فيثاغوروس على المثلّث القائم النّاتج عن إنزال العمود المنصّف للقاعدة كما يلي: الوتر2=المقابل 2+المجاور2 (ضلع المثلّث المقابل للزاوية القائمة)2=(نصف طول القاعدة)2+(ارتفاع المثلّث)2 (2س)2= س2+(8)2 4س2=س2+64 3 س2= 64 س2=64/3=21.3 س= طول نصف القاعدة=الجذر التربيعي لـ 21.3 مساحة المثلّث=1/2×س×8=4س مساحة المثلّث=4×الجذر التربيعي لـ21.3 سم2.