شرح نظرية فيثاغورس

شرح نظريّة فيثاغورس

نظريّة فيثاغورس واحدة من أهم النظريات في الرياضيات والتي حظيت حتى يومنا هذا باهتمام العلماء وكذلك المدرسين والطلبة، ويعود تعميم النظريّة وبرهنتها إلى واحد من أهم الفلاسفة اليونانيين وهو فيثاغورس (pythagoras) حيث سميت بنظريّة فيثاغورس تيمناّ به، ونرى أن النظريّة هي واحدة من نظريات الهندسة الإقليدية القديمة المختصة في المثلث القائم الزاوية؛ والمثلث القائم الزاوية مثلث تكون إحدى زواياه قائمة أي تساوي 90° والوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، كما وأنه لا يتوقف تطبيق هذه النظريّة في الرياضيات المجردة والهندسة وعلم المثلثات بل تتطرق لها العلوم الأخرى بما فيها الفيزياء وعلوم الفضاء والملاحة البحرية وغيرها، وفي هذا المقال سنوضح شرح نظريّة فيثاغورس.

نصّ نظريّة فيثاغورس

تنص النظريّة على أنه "في المثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي ضلعين القائمتين اللتين تحصران الزاوية القائمة"، وتستخدم نظريّة فيثاغورس عادةً لحساب طول أحد الأضلاع في المثلث القائم الزاوية وذلك إذا علم طولي الضلعين الباقيين، كما وأن النظريّة تستخدم لحساب أي مسافة بين نقطتين من خلال إحداثياتهما الديكارتية،والجدير بالذكر أن للنظريّة نص معاكس لها يستخدم في إثبات تعامد ضلعين في مثلث إذا عُلم أطوال أضلاعه الثلاثة، أما نص النظريّة العكس هو "في أي مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الباقيتين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية، وتكون الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع (الوتر)".

توضيح النظريّة

رأى فيثاغورس أن عدد من المثلثات القائمة الزاوية والتي تتألف من أضلاع أطوالها (3، 4، 5) أو مضاعفاتها مثل (6، 8، 10) و(9،12،15) إلخ تنطبق عليها النظريّة، وهنا وضع فيثاغورس أول طرح لنظريته وهو أن أطوال أضلاع أي مثلث قائم هي (3 ، 4 ، 5) أو مضاعفاتها، واستنتج فيثاغورس أن مربع طول الضلع الكبير المقابل للزاوية القائمة في مثلث أطوال أضلاعه (3، 4، 5) تساوي العدد الناتج من جمع مربعي طولي الضلعين الباقيين أي أنّ (9+16 = 25)، وإذا ما أردنا كتابة النظريّة بالرموز لمثلث قائم الزاوية في (ب)، فإنّ النظريّة: (أ جـ) ^2 = ((أ ب) ^2 + (ب جـ) ^2)، ونورد هنا مثال لتطبيق على النظريّة مثالاً توضيحياً: أرسم مثلثاً قائم الزاوية وطول ضلعي القائمة فيه (6 سم ، 8 سم)على الترتيب ، جد طول الضلع الثالث (الوتر)؟

الحل: باستخدام نظريّة فيثاغورس فإنّ:

• (أ جـ)^2 = ((أ ب) ^2 + (ب جـ) ^2).
• (أ جـ)^2 = ((6) ^2 + (8) ^2).
• (أ جـ)^2 = ((36) + (64).
• (أ جـ)^2 = (100).
• (أ جـ) = (10).

في الختام نود الإشارة إلى أنّ العلماء ما زالوا يبتكرون طرق جديدة لبرهنة إثبات صحة هذه النظريّة، وإذا ما ظهرت طرق حديثة لبرهنة النظريّة قد تحمل معها تحديثات على النظريّة ومجالات تطبيقها في حياتنا العلمية والعملية.