قوانين الاحتمالات في الرياضيات

محتويات

• ١ الاحتمالات في الرياضيات
• ٢ أنواع الاحتمالات
• ٣ مبادئ الاحتمالات
• ٤ قوانين الاحتمالات

الاحتمالات في الرياضيات

هو إمكانيّة حدوث شيءٍ ما سواءً بشكل متوقعٍ، أو مخطط له مسبقاً، وتُعرّف الاحتمالات رياضيّاً بأنّها حدوث حدثٍ مُعيّن دون وجودِ ثقةٍ كاملةٍ بحدوثهِ، وتعرف باللغة الإنجليزية بمصطلح (Probabilities)، ، وتعتمد الاحتمالات على فكرة التنبؤ بنتائج منطقيّة، ومعتمدة على مجموعةٍ من الفرضيات الرياضية، والعينات الإحصائية التي تم إعدادها وفقاً لدراسةٍ سابقةٍ، أو بالاعتمادِ على مجموعةٍ من الخيارات المتعددة.

الاحتمالات الرياضيّة لها قيمةٌ محددةٌ وتساعدُ في تحديد النتائج المرتبطةِ بها، وتتقيّدُ هذه القيمة بين نتيجتين وهما (الصفر والواحد)، فإذا كانت قيمة الاحتمال صفراً فيدلّ ذلك على أنّه لا يُمكن حدوث الاحتمال، ويُعرف باسم (الاحتمال المستحيل)، أمّا في حال كانت قيمة الاحتمال واحداً فيدلّ ذلك على إمكانيّة حدوث الاحتمال ويُعرف باسم (الاحتمال المؤكّد).

أنواع الاحتمالات

تقسم الاحتمالات في الرياضيات إلى ثلاثة أنواعٍ، وهي:

• الاحتمالات المنتظمة: وهي تساوي إمكانيّة حدوث الاحتمال، أي إنّه من المُمكن الحصول على احتمالاتٍ مؤكّدة، ومن الأمثلة عليها: تجربة إلقاء حجر نرد، ومن الممكن الحصول على احتمالٍ بين 1 - 6 كنتيجةٍ مُؤكّدةٍ للتجربة.
• الاحتمالات الضمنيّة: هي الاحتمالات التي يتمّ الاعتماد فيها على التوقّعات المسبقة للنتائج، بناءً على خبرةٍ سابقة، أو على إجراء دراسة تعتمدُ على مجموعةٍ من البدائل الممكنة، ومن الأمثلة عليها: احتمال النجاح في امتحانات الشهر الثاني بناءً على النجاح في امتحانات الشهر الأول.
• الاحتمالات التكراريّة: هي الاحتمالات متكرّرة الحدوث أي التي تعتمد على نتائجَ ثابتةٍ، ومتكررة بناءً على عدد مرات وقوع الأحداث المرتبطةِ بها، مثال: تكرار الحصول على قيمة الرقم الثابتة عند ضربه بالرقم واحد.

مبادئ الاحتمالات

يعتمد تطبيق الاحتمالات في الرياضيات على معرفةِ مجموعةِ مبادئ أساسيّة، وهي:

• التجربة العشوائيّة: هي كلّ تجربة تحتوي على مجموعةٍ من الاحتمالات المعروفة، والتي من المؤكّد حدوث أيٍّ منها، مثل: تجربة إلقاء قطعة نقد، أو حجر نرد؛ ففي التجربة الأولى نحصل على صورة، أو كتابة، أمّا في التجربة الثانية سوف نحصل على رقمٍ معين من 1 إلى 6.
• الفضاء العيني: هو المجموعة التي تحتوي على كافّة النتائج المؤكّدة، مثال: مجموعة الفضاء العينيّ لحجر النرد (1،2،3،4،5،6).
• الأحداث: هي كافة النتائج التي من الممكن الحصول عليها بعد التأكد من حدوثها، ويُشار لها بالحرف ن أو N، ولكل احتمال مجموعةٌ من الأحداث التي من الممكن وقوعها بناءً على عوامل خاصة بها، ومن أنواع هذه الأحداث: الحدث البسيط، والحدث المركب، والحدث المستحيل، والحدث المؤكد، والحدث المستقلّ، وغيرها من الأحداث الأخرى.

قوانين الاحتمالات

يعتمد تطبيق حل الاحتمالات في الرياضيات على مجموعةٍ من القوانين المهمّة، والتي تعتمد على الربط بين قيمتين رئيسيتين وهما (أ، ب)، ومن أهمّ قوانين الاحتمالات:

• احتمال وقوع الحدث أ أو ب، أو وقوع أحدهما، ويعرف باسم الاتحاد، ويُشار له بالتعبير الرياضيّ (أ U ب)، أما القانون الخاص بهِ، فهو:(أ U ب) = (أ) + (ب) - (أ ∩ ب)
• احتمال وقوع الحدث أ و ب، أو وقوع كلّ الحدثين، ويُعرف باسم التقاطع، ويُشار له بالتعبير الرياضيّ (أ ∩ ب)، أمّا القانون الخاص به، فهو: (أ ∩ ب) = (أ) + (ب) - (أ U ب)
• احتمال عدم وقوع أيّ من الحدثين أ أو ب، ويُعرف باسم الحدث المستحيل، وقانونه الرياضي: أ ∩ ب = 0
• احتمال أن يكون الحدث مجموعةً جزئيةً من الحدث الآخر، أي أن يكون الحدث أ مجموعةً جزئيّةً من الحدث ب، والعكس صحيح، والقانون الرياضيّ الخاص به، هو: أ c ب في حال كان الحدث أ جزءاً من الحدث ب، أو ب c أ في حال كان الحدث ب جزءاً من الحدث أ.