كيفية حساب حجم الأسطوانة

الأسطوانة

الأسطوانة هي عبارة عن مُجسَّم مُكوَّن من قاعدتَين دائريّتَين، وجانب مُنحنٍ ناتج من دوران مستطيل حول أحد أضلاعه، ويُسمّى هذا الضّلع محورَ الأسطوانة. يوجد نوعان من الأسطوانات، وهما: الأسطوانة القائمة، والأسطوانة المائلة، وذلك حسب تعامد الارتفاع؛ فإذا كان ارتفاع الأسطوانة مُتعامِداً مع قاعدتَي الأسطوانة فإنّ الأسطوانة قائمة، وما عدا ذلك فتُسمّى الأسطوانة مائلةً، وتشبه الأسطوانة إلى حدٍّ كبير المنشورَ؛ إذ كلّما زاد عدد أوجه المنشور زاد شبهُه بالأسطوانة.[١]

للأسطوانة ارتفاع، ونصف قطر، ومحور، أمّا الارتفاع فهو الخطّ العموديّ المستقيم الواصل بين القاعدتَين والذي يُمثّل المسافة بينهما، وأمّا نصف قطر الأسطوانة، فالمقصود به هو نصف قطر القاعدة الدائريّة، ومحور الأسطوانة كما ذُكِر سابقاً هو الخطّ الذي يصل بين منتصفَي قاعدتَي الأسطوانة.[١]

حجم الأسطوانة

إنَّ الحجم بشكلٍ عامّ هو عبارة عن مقدار الحيِّز الذي يشغله الشّكل ثلاثيّ الأبعاد في الفراغ، ويُقاس بوحدات مختلفةٍ، مثل: المتر المُكعَّب، والسّنتيمتر المُكعّب، واللتر، وغيرها من الوحدات.[٢] إنَّ طريقة حساب حجم الأسطوانة تُشبه إلى حدٍّ كبير طريقة حساب حجم المنشور؛ وذلك نظراً للتّشابه الكبير في خصائص كلا الشّكلَين؛ فحجم الأسطوانة هو حاصل ضرب مُربَّع نصف القطر في الارتفاع والثابت π؛ الذي تُقدَّر قيمته بـ (3.142)، ويمكن التّعبير عن قانون حجم الأسطوانة كالآتي:[٣]

حجم الأسطوانة=نصف القطر2×الارتفاع×π

أمثلة على حساب حجم الأسطوانة

• مثال (1): أسطوانة معدنيّة ارتفاعها 12سم، ونصف قطر قاعدتها 7سم، جِد حجمها.[٤]

الحلّ: بتعويض الارتفاع ومُربَّع نصف قطر القاعدة في قانون حجم الأسطوانة، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي: حجم الأسطوانة=7×7×12×3.142 حجم الأسطوانة==1847.5سم3

• مثال (2): أسطوانة نصف قطرها 2سم، وارتفاعها 5سم، جِد حجمها.[٥]

الحلّ: بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي: حجم الأسطوانة=2×2×5×3.14 حجم الأسطوانة=62.8سم3

• مثال (3): أسطوانة ارتفاعها 8 إنش، وقطرها 8 إنش، جِد حجمها.[٥]

الحلّ: يجب الانتباه هنا إلى أنَّ المُعطَى هو القُطر وليس نصف القُطر، ولذلك يجب إيجاد نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2، ومن ثُمَّ تعويض الناتج في قانون حجم الأسطوانة، ويتمّ ذلك كما يأتي: نصف القطر=2/8=4 إنشاتٍ. وبالتّعويض في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة=4×4×8×3.14 حجم الأسطوانة=401.92 إنش3

• مثال (4): خزّان ماءٍ أسطوانيّ الشكل، ارتفاعه 3م، ونصف قطر قاعدته 2م، مُلِئ نصفه بالماء، جِد حجم الماء الموجود في الخزّان.

الحلّ: بما أنَّ الماء يأخذ شكل الحيِّز الموجود فيه، إذاً سيأخذ شكل الخزّان الأسطوانيّ، فلو تمَّت تعبئة الخزّان بالكامل، فإنَّ حجم الماء في هذه الحالة سيُساوي حجم الخزّان الموجود فيه، وفي حال تمَّت تعبئة نصفه، فإنَّ حجم الماء سيُساوي نصف حجم الخزّان، ولهذا يمكن إيجاد حجم الماء الموجود في الخزّان عن طريق إيجاد حجم الخزّان، ومن ثُمَّ قسمة الناتج على العدد 2، ويكون ذلك بالتّعويض في قانون حجم الأسطوانة: حجم الخزّان=(2)2×3×3.14=37.68م3. وبقسمة الحجم على العدد 2، فإنَّ الناتج هو: حجم الماء=37.68÷2=18.84م3

• مثال (5): أنبوب أسطوانيّ الشّكل حجمه 10م3، ونصف قطره 1م، جِد ارتفاع الأنبوب.

الحلّ: بتعويض المُعطيات في قانون حجم الأسطوانة، يبقى المجهول الوحيد هو الارتفاع: 10=1×1×الارتفاع×3.14 بقسمة طرفي المعادلة على الثابت π، فإنَّ النّاتج هو: الارتفاع=3.18م

• مثال (6): ورقة مُستطيلة الشّكل طولها 3م، وعرضها 2م، تمَّ لفّها فأصبحت على شكل أسطوانة ارتفاعها 3م، جِد حجم الأسطوانة النّاتجة.

الحلّ: يمكن الاستفادة من طول المُستطيل وعرضه لإيجاد حجم الأسطوانة؛ فطول المُستطيل في هذه الحالة يُمثِّل ارتفاع الأسطوانة، أمّا عرضه فيُمثِّل مُحيط قاعدة الأسطوانة الدائريّة. بدايةً يجب إيجاد نصف قطر القاعدة عن طريق تطبيق قانون محيط الدّائرة، كما يأتي: محيط الدائرة=2×نصف القطر×π 2=2×3.14×نصف القطر 2=6.28×نصف القطر وبقسمة طرفَي المعادلة على العدد 6.28، فإنَّ الناتج هو: نصف القطر=0.3م تقريباً. يمكن الآن إيجاد حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة=(0.3)2×3×3.14=0.84م3 تقريباً.

المساحة السطحيّة للأسطوانة

إنَّ المساحة السطحيّة الكُليّة للأسطوانة هي عبارة عن مجموع مساحتَي القاعدتَين الدائريّتين بالإضافة إلى مساحة جانب الأسطوانة، والتي تكون على شكل مُستطيل عند فردها. إنَّ طول هذا المُستطيل يُمثِّل ارتفاع الأسطوانة، أمّا عرضه، فهو محيط إحدى قاعدتيه الدائريّتين؛ ويمكن تمثيل المساحة السطحيّة للأسطوانة في المعادلة الآتية:[٦]

المساحة السطحيّة=2×π×نصف القطر2+2×π×نصف القطر×الارتفاع

ويمكن تبسيط القانون بحيث يُصبح كالآتي:

المساحة السطحيّة=2×π×نصف القطر×(نصف القطر+الارتفاع)

أمثلة على حساب المساحة السطحيّة للأسطوانة

• مثال (1): أسطوانة نصف قطر قاعدتها 3م، وارتفاعها 10م، جِد مساحتها السطحيّة.

الحلّ: بتعويض القِيم في قانون المساحة السطحيّة للأسطوانة، فإنَّ الحلّ سيكون كما يأتي: المساحة السطحيّة=2×3.14×(3)2+2×3×3.14×10=244.92م2

• مثال (2): أسطوانة مساحة قاعدتها 5م2، وارتفاعها 15م، جِد مساحتها السطحيّة.

الحلّ: بدايةً، يجب إيجاد نصف قطر القاعدة، وذلك باستخدام قانون مساحة القاعدة الدائريّة: 5=π×نصف القطر2 بقسمة طرفَي المعادلة على قيمة π وهي 3.14، فإنَّ الناتج هو: 1.6=نصف القطر2 بأخذ الجذر لكلا طرفَي المُعادلة للتخلُّص من القوّة: نصف القطر=1.26م تقريباً. يمكن الآن استخدام قانون المساحة السطحيّة للأسطوانة، وبما أنَّ المساحة للقاعدة أصلاً معروفة، فيمكن الاكتفاء بتعويضها مُباشرةً في القانون بدلاً من حسابها من جديد: المساحة السطحيّة=2×5+2×π×1.26×15 المساحة السطحيّة=10+118.7=128.7م2

• مثال (3): أسطوانة مجهولة الأبعاد، تمَّ تفكيكها وفردها فأصبحت مُستطيلاً طوله 16 إنشاً، وعرضه 12 إنشاً، جِد المساحة السطحيّة للأسطوانة.

الحلّ: إنَّ معرفة أبعاد المُستطيل الذي حُوِّلت له الأسطوانة كافٍ لإيجاد المساحة السطحيّة لها؛ حيثُ إنَّ عرض المُستطيل يُمثِّل محيط القاعدة لهذه الأسطوانة، وطوله يُمثِّل الارتفاع، ولإيجاد نصف قطر الأسطوانة، يجب استخدام قانون محيط الدّائرة وتعويض عرض المُستطيل فيه، فيبقى المجهول الوحيد هو نصف القطر: 12=2×π×نصف القطر 12=6.28×نصف القطر بقسمة طرفَي المعادلة على 6.28، فإنَّ الناتج هو: نصف القطر=1.9 إنش. يمكن الآن تطبيق قانون المساحة السطحيّة للأسطوانة، وهنا سيُستخدَم القانون المُبسَّط، علماً أنَّ كلا القانونين لهما النّتيجة نفسها: المساحة السطحيّة=2×3.14×1.9×(1.9+16)=213.58 إنشاً2

المراجع

• ^ أ ب "cylinder", math open reference, retrieved 25-3-2017. edited.
• ↑ "volume", mathisfun, retrieved 25-3-2017. edited.
• ↑ "volume enclosed by a cylinder", math open reference, retrieved 25-3-2017. edited.
• ↑ "volume of a cylinder", mathteacher.com.au, retrieved 25-3-2017. edited.
• ^ أ ب daniel h., "volume of cylinders"، basic-mathematics.com, retrieved 25-3-2017. edited.
• ↑ "derivation of the surface area of a cylinder", math open reference, retrieved 25-3-2017. edited.