بحث عن تحليل الفرق بين مكعبين

تحليل الفرق بين مكعبين

يعتبر المكعب شكل من الأشكال الهندسيّة، جميع أوجهه مربعات، وحجمه ل 3 حيث تمثّل (ل) طول ضلعه، ويسمّى س3–ص3 فرقاً بين مكعبين، حيث تمثل (س3) حجم مكعب طول ضلعه س، وتمثل (ص3) حجم مكعب طول ضلعه ص، وإنّ مقدار الفرق بين مكعبين يحلّل إلى قوسين مضروبين في بعضهما، يحوي الأول منهما حدان هما (س–ص)، ويحوي القوس الثاني ثلاثة حدود هي (مربع الجذر التكعيبي للحد الأول+الجذر التكعيبي للحدّ الأول×الجذر التكعيبي للحد الثاني+مربع الجذر التكعيبي للحد الثاني)، وبالتعبير الرياضي العام يمكن تمثيلها كالآتي:

س3–ص3= (س–ص) (س2+س ص+ص2)

أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين

• المثال الأول: حلل المقدار س3-125، الحل: حسب قانون الفرق بين مكعبين:

س3–ص3= (س–ص) (س2+س ص+ص2)، فإنّ: س3-125= (س-5) (س2+5س+25)

• المثال الثاني: حلّل المقدار 8 س3–27، الحل:

إن 8 س 3 = 2س×2س×2س، و27 = 3×3×3 إذاً المقدار الأول= 2س، والمقدار الثاني=3 وحسب العلاقة الرياضية للفرق بين مكعبين تصبح المعادلة كالتالي: 8 س3 27 = (2س–3) (4س2+2س×3+9)

• المثال الثالث: حلل المقدار (س+3)4-(س+3)، الحل: في البداية نقوم بإخراج (س+3) كعامل مشترك، لتصبح كالآتي:

(س+3) ((س+3)3-1) إذاً المقدار الأول = س+3، والمقداار الثاني = 1 (س+3) ((س+3)3-1)= (س+3) ((س+3)-1)((س+3)2+(س+3)+1))

• المثال الرابع: ما هي قيمة س3-أ3، الحل:

س3-أ³sup>3= (س-أ) مقداراً لا نعرفه، بقسمة الطرفين على (س – أ) (س3-أ3)/(س-أ) = باستخدام مفهوم القسمة الطويلة نصل إلى: (س2+أ س+أ2) / (س-أ) س3-أ س2، وبالطرح أ س2-أ3 أ س2-أ2س، وبالطرح أ2س-أ3 أ2س-أ3 أ² س-أ³ أ² س-أ³ بالطرح نحصل على 0

• لإيجاد فرق المكعبين المقدار المجهول هو: س²+أ س+أ²، إذاً تحليل الفرق بين المكعبين يكون:

س³-أ³ = (س-أ) (س²+أ س+أ2)

• المثال الخامس: حلّل 40 س3-5 ص3

الحل: 40 س3-5ص3= 5(8 س3-ص3) 8 س3= (2 س)3 =5 ((2 س-ص) (4 س2-2 س ص+ص2))

• المثال السادس: حلّل ( ع-2 )3-ع3

الحل: (ع-2)3-ع3 = ع3-(ع-2)3 = (ع-(ع-2)) (ع2+ع (ع-2)+(ع-2)2) = (2) (ع2+ع2-2 ع+ع2-4ع+4) = (2) (3 ع2-6 ع+4)

• المثال السابع: حلّل-5 س3 ص3+49 ع3-14 ع3+7 س3ص3+62س3ص3-99 ع3

= 64 س3ص3-64ع3 = 64 (س3ص3-ع3) = 64 (س ص-ع)(س2ص2+س ص ع+ع2

من الواضح في الأمثلة السابقة أنه في حال وجد مقدار نستطيع تحليله ونستفيد من تحليله يجب علينا تحليله، وإخراج هذا المقدار كعامل مشترك. وإذا لم يوجد نقوم بالتحليل فوراً.