قانون مساحة وحجم الأسطوانة

تعريف الأسطوانة

هي عبارة عن مجسّم بسيط ثلاثيّ الأبعاد يتكوّن من قاعدتين دائريتين متساويتين في الحجم ومتوازيتين، وتنتج الأسطوانة عن دوران مستطيل حول أحد أضلاعه الأربعة دورةً كاملة، ويُسمى محور الدوران بمحور الأسطوانة، أمّا الضلع المقابل له يُدعى براسم الأسطوانة، وتُمثّل القطعة المستقيمة التي تتعامد على القاعدتين ارتفاع الأسطوانة، ويُطلق على الأسطوانة قائمة إذا كان ارتفاع الأسطوانة يتعامد مع محيط قاعدتيها، وغير ذلك تُسمى أسطوانة مائلة. وبما أنّ الأسطوانة مجسّمٌ ثلاثيّ الأبعاد، فليس بالإمكان حساب محيطها، بينما يُمكن حساب مساحتها الجانبية والكلية، بالإضافة إلى حجمها.

حساب مساحة الأسطوانة الجانبية والكلية

تتكوّن الأسطوانة من سطحٍ جانبي على شكل منحنى دائري، بالإضافة إلى القاعدتين العليا والسفلى، وبذلك فإنّ مساحة الأسطوانة الكلية تساوي المساحة الجانبية بالإضافة إلى مساحة القاعدتين. وتُمثّل المساحة الجانبية للأسطوانة محيط القاعدة الدائرية مضروبةً في ارتفاع الأسطوانة أيّ ضعف نصف قطر قاعدة الأسطوانة مضروبةً في النسبة التقريبية (ط) مضروبة في ارتفاع الأسطوانة، كما يُمكن حساب مساحة كل قاعدة من قاعدتي الأسطوانة من خلال قانون مساحة الدائرة ويساوي مربع نصف قطر القاعدة الدائرية مضروباً في النسبة التقريبية (ط).

المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين العليا والسفلى

المساحة الجانبية = محيط الدائرة × ارتفاع الأسطوانة المساحة الجانبية = 2×نق×ط×ع. مساحة القاعدة العليا = مساحة القاعدة السفلى = نق²×ط المساحة الكلية للأسطوانة =(2×نق× ط×ع)+(2× نق²×ط ) المساحة الكلية للأسطوانة = 2× نق× ط (ع+نق)

• مثال: أسطوانة دائرية قائمة نصف قطر قاعدتها يساوي 4 سم، وارتفاعها يساوي 8 سم، أوجد مساحتها الكلية.
• الحل:
  • المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين العليا والسفلى
  • المساحة الجانبية = 2×نق×ط×ع
  • المساحة الجانبية = 2×4 × 3.14×8
  • المساحة الجانبية للأسطوانة = 200.96 سم²
  • مساحة القاعدتين = 2×مساحة القاعدة الواحدة
  • مساحة القاعدتين = 2× نق²×ط
  • مساحة القاعدتين = 2×4×4×3.14
  • مساحة القاعدتين = 100.48 سم²
  • المساحة الكلية للأسطوانة = 200.96+100.48= 301.44 سم²

حساب حجم الأسطوانة

يُمكن حساب حجم الأسطوانة من خلال ضرب مساحة قاعدة الأسطوانة في ارتفاعها، وبما أنّ قاعدة الأسطوانة دائرية فإنّ مساحتها تساوي مربع نصف القطر مضروباً في النسبة التقريبية (ط) ، وعليه فإنّ حجم الأسطوانة يساوي:

حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة مساحة قاعدة الأسطوانة = مربع نصف قطر القاعدة × ط مساحة قاعدة الأسطوانة = نق²× ط حجم الأسطوانة = نق²× ط × ع

• مثال: إذا علمت أنّ نصف قطر قاعدة أسطوانة دائرية يساوي 6 سم، وارتفاعها يساوي 10 سم، فما حجم الأسطوانة؟
• الحل:
  • حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة
  • حجم الأسطوانة = نق²× ط × ع
  • حجم الأسطوانة = 6 ²× 3.14×10
  • حجم الأسطوانة = 1130.4 سم³