قانون مساحة المخروط

تعريف المخروط

هو مجسمٌ ينتج عن دوران مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعي القائمة دورةً كاملة، أو يُمكن تعريفه على أنّه مجسمٌ منحنى قاعدته مغلق يُسمى الخط الدليلي، يوصل هذا المنحنى بنقطة لا تنتمي إليه تُشكل رأس المخروط، أمّا راسم المخروط فهو كلّ مستقيمٍ يصل بين الخط الدليلي والرأس، وسنذكر في هذا المقال قانون مساحة المخروط.

 

خواص المخروط

• عندما يكون الخط الدليلي دائرة يُسمى المخروط دائرياً.
• عندما يكون الخط الواصل من قمّة الرأس إلى مركز الدائرة عمودياً على مستوى القاعدة، يسمى المخروط، المخروط الدائري القائم.
• عند قطع المخروط الدائري القائم بمستوىً لا يشمل الرأس يُسمى المقطع الناتج بالمقطع المخروطي.
• ارتفاع المخروط أو طول المخروط هو المستقيم العمودي الممتد من رأس المخروط إلى قاعدته.

 

حساب مساحة المخروط

لحساب مساحة المخروط الكلية نحتاج لحساب مساحة القطاع الدائري بالإضافة إلى مساحة قاعدته، وبما أنّ قاعدة المخروط دائرية فمساحة القاعدة هي عبارة عن مساحة دائرة نصف قطرها (نق)، ومن هنا نستنتج أنّ: المساحة الكلية للمخروط = مساحة القطاع الدائري+مساحة القاعدة

مساحة القاعدة = مربع نصف القطر×النسبة التقريبية ط = نق²×ط. مساحة القطاع الدائري = طول راسم المخروط×نصف قطر القاعدة×ط = نق×ل×ط.

 

• مثال1 : إذا كان نصف قطر قاعدة مخروط دائري قائم تساوي 15سم، وطول راسمه يساوي 40سم، احسب مساحته؟
• الحل: مساحة المخروط الكلية = مساحة القطاع الدائري + مساحة القاعدة
  • مساحة المخروط الكلية = نق×ل×ط +نق²×ط
  • مساحة المخروط الكلية = (15×40×3.14)+((15)2×3.14) = 1884+706.5 = 2590.5سم².

 

• مثال2 : إذا علمت أن المساحة الكلية لمخروط دائري قائم تساوي 1256سم²، وكان نصف قطر قاعدته يساوي 10سم، أوجد طول راسمه؟
• الحل: مساحة المخروط الكلية = مساحة القطاع الدائري + مساحة القاعدة
  • مساحة القاعدة = نق² ×ط = (10)²×3.14 = 314سم²
  • مساحة القطاع الدائري = نق×ل×ط = 10×ل×3.14 = 31.4×ل
  • 1256 = 31.4× ل+314
  • 31.4×ل = 1256-314= 942
  • ل = طول الراسم = 942 ÷ 31.4 = 30سم.

 

• مثال3: احسب المساحة الكلية لمخروط دائري قائم نصف قطر قاعدته يساوي 7سم، وارتفاعه يساوي 24سم؟
• الحل: مساحة المخروط الكلية = مساحة القطاع الدائري + مساحة القاعدة
  • مساحة القاعدة = نق2 × ط
  • مساحة القاعدة = (7)2 × 3.14 = 153.86سم2
  • مساحة القطاع الدائري = نق × ل × ط

 

نلاحظ أنّ طول الراسم غير معروف، لذلك نستخدم نظرية فيثاغوروس في إيجاد طوله كما يأتي:

• (طول الراسم)² = (نصف قطر القاعدة)²+ (ارتفاع المخروط)²
• (طول الراسم)2 = (7)² + (24)²= 625
• طول الراسم = الجذر التربيعي لـ 625 = 25سم.
• الآن نطبق معادلة مساحة القطاع الدائري:
• مساحة القطاع الدائري = 7×25×3.14 = 549.5سم²
• مساحة المخروط الكلية = 549.5+153.86 = 703.36سم²