الدّائرة
الدّائرة هي عبارة عن مجموعة من النِّقاط المرسومة على سطح مُعيَّن، وجميعها تبعُد المسافة نفسها عن نُقطة تُسمّى المركز، في حين تُسمّى المسافة بين أيٍّ من هذه النّقاط ومركز الدّائرة بنصف قُطر الدّائرة، أي أنّ القُطر هو ضعف هذه المسافة، وعادةً ما تكون النّسبة بين قُطر الدّائرة ومُحيطها ثابتةً دائماً، أمّا أيّ زاوية تُشكِّلها الدّائرة في المركز فهي زاوية كاملة مقدارها 360°.[١]
أجزاء الدّائرة
إنَّ للدّائرة أجزاء مُختلفةً يُمكن أن تُسهِّل تصنيفها، وتطبيق العمليّات الرياضيّة عليها، ومنها:[٢]
- القوس: هو أيّ جُزء من محيط الدّائرة.
- القِطاع: هي المنطقة المحصورة بين نصفَي قُطرَين مُختلفَين في الدّائرة.
- الوتر: هو أيّ خطٍّ مُستقيم يصل بين أيّ نقطتَين على محيط الدّائرة.
- القطعة: هي المنطقة المحصورة بين أيّ وتر في الدّائرة ومُحيطها.
ثابت الدّائرة
يمكن استخراج قيمة ثابت الدّائرة عن طريق قسمة محيط الدّائرة على قُطرها؛ حيثُ تكون هذه القيمة دائماً ثابتةً لأيّ دائرةٍ، وتُعادِل (3.14159265358979323846) تقريباً، ويُرمَز لها بالحرف الإغريقيّ (π)، وتجدر الإشارة إلى أنّ المنازل العشريّة لقيمة ثابت الدّائرة بعد الفاصلة العشريّة لا تنتهي؛ أي تبقى مُستمرّةً إلى ما لانهاية؛ فقد تمّ استخراج تريليون منزلة بعد الفاصلة العشريّة،[٣] وفي حال كان نصف القطر أو القطر من مُضاعفات العدد 7، فيمكن الاستفادة من الشّكل الآخر لقيمة ثابت الدّائرة، وهو النّسبة (22/7).[٤]
مُحيط الدّائرة
إنَّ المُحيط بشكلٍ عام هو عبارة عن المسافة حول الشّكل ثُنائيّ الأبعاد؛[٥]ومُحيط الدّائرة هو عبارة عن طول المسافة حول الدّائرة، ويمكن حسابها عن طريق استخدام المعادلة الآتية:[٣]
محيط الدّائرة=2×نصف القطر×π
أو محيط الدّائرة=القطر×π
أمثلة على حساب محيط الدّائرة
- مثال (1): دائرة قطرها 3سم، جد محيطها.[٣]
الحلّ: باستخدام قانون حساب محيط الدّائرة وتعويض قيمة القُطر، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي: محيط الدّائرة=3×π محيط الدّائرة=3×3.14 محيط الدّائرة=9.42سم
- مثال (2): دائرة نصف قطرها 2سم، جد محيطها.[٣]
الحلّ: يتمّ تعويض قيمة نصف القطر في قانون محيط الدّائرة، كما يأتي: محيط الدّائرة=π×2×2 محيط الدّائرة=2×2×3.14 محيط الدّائرة=12.56سم
- مثال (3): دائرة محيطها 15.7سم، جد قطرها.[٣]
الحلّ: بتعويض المعطيات في قانون محيط الدّائرة، فسينتج ما يأتي: 15.7=π×القطر 15.7=3.14×القطر بقسمة طرفَي المعادلة على قيمة π، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي: القطر=5 سم
- مثال (4): مسبح دائريّ الشّكل، نصف قطره 14م، جد محيطه.[٤]
الحلّ: بتعويض قيمة نصف قطر المسبح في قانون محيط الدّائرة: محيط الدّائرة=2×نصف القطر×π محيط الدّائرة=2×14×3.14=88م
- مثال (5): مشتل أزهار دائريّ الشّكل، نصف قطره 9م، جد محيطه.[٤]
الحلّ: بتعويض قيمة نصف قطر المشتل في قانون محيط الدّائرة، فإنَّ الناتج يكون كالآتي: محيط الدّائرة=2×نصف القطر×π محيط الدّائرة=2×9×3.1416 محيط الدّائرة=56.5487م
مساحة الدّائرة
يُعبَّر عن مساحة الدّائرة بعدد الوحدات المُربَّعة الموجودة داخلَها، فلو كانت مساحة المُربَّع الواحد سنتيمتراً مُربّعاً واحداً على سبيل المثال، واحتوت إحدى الدّوائر على 28.26 مُربّعاً داخلها، فإنَّ مساحة هذه الدّائرة تساوي 28.26سم2، ويمكن التّعبير عن مساحة الدّائرة باستخدام القانون الآتي:[٦]
مساحة الدّائرة=π×نصف القطر2
أمثلة على حساب مساحة الدّائرة
- مثال (1): دائرة نصف قطرها 3سم، جد مساحتها.[٦]
الحلّ: بتعويض قيمة نصف القطر في قانون مساحة الدّائرة، فإنَّ الناتج يكون كما يأتي: المساحة=23×π المساحة=9×3.14=28.26سم2
- مثال (2): دائرة قطرها 10سم، جد مساحتها.
الحلّ: تتمّ قسمة قُطر الدّائرة على العدد 2؛ لإيجاد نصف قُطر الدّائرة: نصف القطر=10÷2=5سم بتطبيق قانون مساحة الدّائرة باستخدام نصف القطر، فإنّ الناتج سيكون كالآتي: المساحة=3.14×25 المساحة=3.14×25 المساحة=78.5سم2
معادلة الدّائرة
يمكن اشتقاق معادلة الدّائرة عن طريق رسم مُثلَّثٍ قائم الزّاوية؛ قاعدته مستقيمةً، ووتره مُمتَدّ من مركز الدّائرة إلى أيّ نقطة على محيطها، ثُمَّ استخدام فيثاغورس" style="color: #2386c8;font-weight: 700;" title="قانون-فيثاغورس">قانون فيثاغورس، فعلى سبيل المثال لو كانت هناك دائرة مركزيّة؛ أي إنّ مركزها هو النقطة (0،0)، ورُسِم مُثلّث قائم الزّاوية داخلَها، فيُمكن الإشارة إلى طول قاعدة المُثلَّث القائم المرسوم داخلها بالرّمز (س)، والارتفاع بالرّمز (ص)، وكان طول الوتر 5سم على سبيل المثال، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي:[٧]
س2+ص2=25
وفي حال لم تكن الدّائرة مركزيّةً؛ أي إنَّ مركزها لا يقع على النقطة (0،0)؛ ففي هذه الحالة، يمكن استخدام الرمز (س) للتعبير عن طول قاعدة المُثلَّث القائم، مطروحاً منها الإحداثي السينيّ للنُّقطة الواصلة بين الوتر والقاعدة التي هي نفسها مركز الدّائرة، أمّا ارتفاع هذا المثلَّث فيُرمَز له بالرمز (ص) مطروحاً منه الإحداثيّ الصاديّ للنّقطة نفسها، وبذلك يمكن اشتقاق معادلةٍ أكثر عموميّةً، وهي:[٧]
(س-أ)2+(ص-ب)2=نصف القطر2
حيث إنَّ (أ) هو الإحداثيّ السينيّ لمركز الدّائرة، و(ب) هو الإحداثيّ الصاديّ لها.
كيفيّة رسم الدّائرة
يُستخدَم الفرجار (بالإنجليزيّة: compass) عادةً لرسم دائرة مُتقَنة على سطح ما، والفرجار هو عبارة عن أداة تتكوَّن من ذراعَين معلّقتَين معاً ومُتحرّكتَين؛ ويكون لدى إحداهما رأس مُدبَّب، أمَّا الذّراع الأخرى فيُثبَّت فيها قلم رصاص، ويُمكن استخدام الفرجار أيضاً لرسم أجزاء من الدّائرة، ولرسم دائرةٍ باستخدام الفرجار يجب اتّباع الخطوات الآتية:[٢]
- التأكُّد من أنَّ رأس الفرجار ثابتة؛ حتّى لا ينزلق الفرجار أثناء استخدامه.
- شدّ البُرغي المُثبِّت للقلم؛ حتى لا ينزلق القلم أثناء الرّسم.
- جعل رأس القلم بنفس مُستوى الذّراع الأخرى للفرجار.
- تثبيت الرأس المُدبَّب للفرجار على السَّطح المُراد الرّسم عليه، ومن ثُمَّ تحريك الفرجار بشكل دائريّ حول رأسه؛ لرسم دائرة أو جزءٍ منها.
- في حال التقيُّد بنصف قُطر مُعيَّن للدّائرة، حينها تُستخدَم المسطرة لتحديد فتحة الفرجار؛ حتّى تصبح بنفس طول نصف القطر المطلوب، ومن ثُمَّ يُثبّت الفرجار على السطح، وتُرسَم الدّائرة.[٢]
المراجع
- ↑ "circle", wolfram mathworld, retrieved 10-3-2017. edited.
- ^ أ ب ت "circles and using a compass ", mathsteacher.com.au, retrieved 10-3-2017. edited.
- ^ أ ب ت ث ج "circumference of a circle", math goodies, retrieved 10-3-2017. edited.
- ^ أ ب ت "circumference of a circle", mathsteacher.com.au, retrieved 10-3-2017. edited.
- ↑ "perimeter", mathisfun, retrieved 10-3-2017. edited.
- ^ أ ب "area of a circle", math goodies, retrieved 10-3-2017. edited.
- ^ أ ب "circle equations", mathisfun, retrieved 10-3-2017. edited.
