قانون مساحة ومحيط الدائرة

تعريف الدائرة

الدائرة هي منحنى مغلق نقاطه متّصلة ببعضها البعض، وجميعها بعيدة بعد ثابت عن نقطة ثابتة تسمى مركز الدائرة، وتسمّى المسافة بين المنحنى ومركز الدائرة نصف قطر الدائرة ويرمز لها بالرمز (نق). سنعرض في هذا المقال بعض المصطلحات الخاصة بالدائرة بالإضافة إلى قانون محيط الدائرة ومساحتها.

محيط الدائرة

محيط الدائرة: هو طول المنحنى الذي يُشكّل الدائرة، ولحساب قيمة المحيط نستخدم القانون التالي: (محيط الدائرة=2×نق×ط=ق×ط)

حيث إنّ:

• نق: هو نصف قطر الدائرة
• ق: هو قطر الدائرة.
• ط: هي نسبة تقريبية ثابتة لا تتغيّر، تربط بين محيط الدائرة وقطرها وتساوي 3.14 أو 22/7

أمثلة على قانون المحيط:

• مثال (1): إذا علمت أنّ قطر إطار دائريّ يساوي 12سم، احسب محيطه؟

الحل: بتطبيق القانون أعلاه: محيط الدائرة=ق×ط 12×3.14=37.68سم

• مثال (2): أوجد طول قطر الدائرة التي محيطها يساوي 80سم؟

الحل: بتطبيق القانون: محيط الدائرة=ق×ط 80=ق×3.14 قطر الدائرة=80/3.14=25.48سم

• مثال (3): احسب محيط دائرة إذا علمت أن نصف قطرها يساوي 0.5م؟

الحل: بتطبيق القانون: محيط الدائرة=ق×ط محيط الدائرة=2×نق×ط محيط الدائرة=2×0.5×3.14 محيط الدائرة=3.14م

مساحة الدائرة

مساحة الدائرة: هي المنطقة المحصورة في محيط الدائرة، ولحساب قيمة المساحة نستخدم القانون التالي: (مساحة الدائرة=نق2×ط).

اشتقاق قانون المساحة

• أحضر العلماء القدامى قطعة ورق مقوى على شكل دائرة.
• قسّموها إلى ثمانية أجزاء.
• ألصقوا الأجزاء الثمانية على شكل مستطيل، بحيث يكون قطاع قوسه أعلة والجزء الآخر الملصوق به قوسه لأسفل.
• قاسوا مساحة المستطيل المتكوّن.
• وجدوا أنّ طول المستطيل يساوي نصف محيط الدائرة، وعرضه يساوي نصف القطر، أيّ أن مساحة الدائرة تساوي مساحة المستطيل المصنوع منها، ومنه وجدوا أنّ مساحة الدائرة= (نصف المحيط×نصف القطر).
• (بتعويض قانون محيط الدائرة في المعادلة أعلاه)

مساحة الدائرة =((القطر×ط)/ 2)× نصف القطر مساحة الدائرة=(القطر/2)×ط×نصف القطر مساحة الدائرة=نق2×ط

أمثلة على قانون المساحة

• مثال (1): إذا كان قطر دائرة يساوي 16سم، أوجد مساحتها؟

الحل: باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق2×ط نق=ق /2=16/2=8سم. مساحة الدائرة=(8)2×3.14=200.96سم2

• مثال (2):أوجد قطر دائرة إذا علمت أنّ مساحتها تساوي 2826سم2؟

الحل: بتطبيق القانون أعلاه: مساحة الدائرة=نق2×ط 2826=نق2×3.14 نق2=2826/ 3.14=900سم نق=الجذر التربيعي ل 900=30 سم قطر الدائرة=2×نق=2×30=60سم

• مثال (3): احسب مساحة دائرة، إذا علمت أن محيطها يساوي 94.2سم؟

الحل: محيط الدائرة=طول القطر×ط 94.2=ق×3.14 طول القطر=30سم، ومنه طول نصف القطر=30 /2=15سم. مساحة الدائرة=(نصف القطر)2×ط مساحة الدائرة=(15)2×3.14=706.5سم2