قانون حساب حجم المخروط

المخروط

إنّ المخروط هو مجسم هندسي ثلاثي الأبعاد، ينتج من توصيل نقاط منحنى مغلق بنقطة لا تنتمي إليه تُسمى رأس المخروط، ويُسمى الخط المستقيم الواصل بين المنحنى ورأس المخروط براسم المخروط، وعندما يكون المنحنى المغلق دائرة يسمى مخروط دائري، وإذا كانت رواسمه متساوية في الطول يُدعى المخروط الدائري القائم، أمّا ارتفاع المخروط أو طول المخروط فهو طول الخط العمودي الواصل بين رأس المخروط وقاعدته.

قانون حساب حجم المخروط

يُمكن حساب حجم المخروط بدلالة ارتفاعه ونصف قطر قاعدته من خلال المعادلة الآتية:

• حجم المخروط= (الارتفاع×مساحة القاعدة الدائريّة)÷3.
• حجم المخروط= (الارتفاع×مربع نصف القطر×النسبة التقريبيّة ط)÷3.
• حجم المخروط= (ع×نق2×ط)÷3.
• حساب نصف القطر:
  • إذا كان نصف القطر معلوماً ننتقل للخطوة التالية.
  • إذا عرفنا طول القطر نقسمه على 2 لنحصل على نصف القطر.
  • إذا كان محيط قاعدة المخروط الدائريّة معلوماً، نستخدم قانون محيط الدائرة للحصول على نصف القطر، حيث إنّ المحيط= 2×نق×ط، فإننا نحصل على نصف القطر بسهولة بقسمة قيمة المحيط على 2×ط، ويجب أن نستخدم مسطرة القياس المدرجة لقياس قطر الدائرة في حال عدم معرفة أيّ من القياسات السابقة، ثمّ نقسّم الناتج على 2 لنحصل على نصف القطر.
• حساب مساحة القاعدة الدائريّة:
  • نستخدم نصف القطر في حساب مساحة قاعدة المخروط حسب قانون مساحة الدائرة، حيث إنّ مساحة الدائرة= مربع نصف القطر×النسبة التقريبيّة ط= نق2×ط.
• حساب ارتفاع المخروط:
  • إذا كان الارتفاع معروفاً ننتقل للخطوة التالية.
  • إذا لم نعرف الارتفاع، نستخدم المسطرة المدرّجة لقياس الخط العمودي من رأس المخروط إلى قاعدته لنحصل على الارتفاع.

ملاحظة: نتأكد من استخدام وحدة القياس نفسها لنصف قطر قاعدة المخروط وارتفاعه، ونضرب ناتج الخطوة الثانية في ناتج الخطوة الثالثة؛ أي نجد حاصل ضرب مساحة قاعدة المخروط×ارتفاعه، ثمّ نقسم الناتج على 3.

أمثلة لحساب حجم المخروط

• مثال1: أوجد حجم مخروط إذا علمت أن قطر قاعدته يساوي 7سم، وارتفاعه يساوي 60 ملم؟
  • الحل: حجم المخروط= (الارتفاع×مساحة القاعدة الدائرية)÷3.
  • مساحة القاعدة الدائريّة= نق2×ط، ولكن نق= طول القطر مقسوماً على 2=7÷2= 3.5 سم.
  • مساحة القاعدة الدائريّة= (3.5)2×3.14= 38.47 سم².
  • حجم المخروط= (6×38.47)÷3= 76.94سم³.
• مثال2: إذا علمت أنّ محيط قاعدة مخروط دائري تساوي 26 سم، والمسافة بين رأس المخروط ومركز القاعدة تساوي 8 سم، احسب حجم المخروط؟
  • الحل: حجم المخروط= (الارتفاع×مساحة القاعدة الدائرية)÷3.
  • حجم المخروط= (ع×نق2×ط)÷3، وحتى نحصل على نصف القطر نستخدم محيط القاعدة المعطى بالسؤال:
  • محيط القاعدة= 2×نق×ط.
  • 26= 2×نق×3.14.
  • نصف القطر= 26÷6.28=4.14 سم.
  • حجم المخروط= (8×(4.14)2×3.14)÷3.
  • حجم المخروط= 143.52 سم³.