قانون التباين

قانون التباين

يعتبر التباين من القوانين المستخدمة على نطاقٍ واسع في مجال الإحصاء أو الحصول على البيانات المختلفة، حيث يعتمد قانون التباين على أخذ عينةٍ من المجتمع وليس المجتمع بأكمله، ثمّ إجراء الدراسات والأبحاث عليها، وعادةً ما يتمّ حساب التباين في الاحصاء بأسلوبين سنذكرهما في هذا المقال.

التباين في البيانات غير المبوبة

إذا كان س1، س2، س3، .......، سن هي مجموعة بياناتٍ من عينة في مجتمعٍ ما عددها ن، وكان الوسط الحسابي لها يُعطى بالعلاقة الرياضية الآتية:

الوسط الحسابي = (س1+ س2+ س3+ .....+ سن)/ ن

فإنّ قانون التباين يُعطى بالعلاقة الرياضية الآتية:

قانون التباين = مجموع (س - الوسط الحسابي)²/ (ن -1)

• مثال:

إذا تمّ دراسة عينة علامات طلاب كلية الهندسة في إحدى الجامعات، وكانت العلامات على النحو الآتي: 7، 5، 9، 6، 8 علماً أنّ العلامة النهائية هي 20، احسب التباين في علاماتهم.

• الحل :

• نحسب الوسط الحسابي:

الوسط الحسابي = (س1+س2+س3+ .....+ سن)/ ن الوسط الحسابي = (7+5+9+6+8)/ 5 الوسط الحسابي = 35/ 5 الوسط الحسابي = 7.

• نجد قيمة (ن-1):

ن-1= 5-1 ن-1 = 4

• نحسب مربعات الانحرافات لكلّ قيمة من خلال الجدول الآتي:

القيم الموجودة الانحراف = س - الوسط الحسابي مربع الانحراف = (س - الوسط الحسابي )² 7 7 - 7 = 0 0 5 5 -7 = -2 4 9 9 - 7 = 2 4 6 6 - 7 = -1 1 8 8 - 7 = 1 1 المجموع = 35 المجموع = 0 المجموع = 10

• نطبق على قانون التباين للحصول على التباين:

التباين = مجموع (س - الوسط الحسابي )²/ (ن-1) التباين = 10/ 4 التباين = 2.5

التباين في البيانات المبوبة

يمكن حساب التباين في البيانات المبوبة من خلال القانون الىتي:

قانون التباين = مجموع (س - الوسط الحسابي )²× (تكرار الفئة)/ (ن-1)

• مثال :

أوجد التباين للتوزيع التكراري الآتي:

التكرار الفئة 2 0 - 5 4 5 - 10 7 10 - 15 6 15 - 20 8 20 - 25 9 25 - 30

• الحل :

• نحسب الوسط الحسابي:

الوسط الحسابي = (س1+س2+س3+ .....+ سن)/ ن الوسط الحسابي = (2+4+7+6+8+9)/ 6 الوسط الحسابي = 36 / 6 الوسط الحسابي = 6

• نحسب تكرار الفئة:

تكرار الفئة = (0+5)/ 2 تكرار الفئة = 2.5 يُستخدم تكرار الفئة 2.5 لكلّ الفئات.

• نجد قيمة (ن- 1):

ن-1 = 6-1 ن-1= 5

• نحسب مربعات الانحرافات لكلّ قيمة من خلال الجدول الآتي:

القيم الموجودة الانحراف = س- الوسط الحسابي مربع الانحراف = (س - الوسط الحسابي )² 2 2 -6 = -4 16 4 4 -6 = -2 4 7 7 -6 = 1 1 6 6 -6 = 0 0 8 8 -6 = 2 4 9 9 -6 = 3 9 المجموع = 35 المجموع = 0 المجموع = 34

• نطبق قانون التباين للحصول على التباين:

قانون التباين = مجموع (س - الوسط الحسابي )²×(تكرار الفئة)/ (ن-1) قانون التباين = (34×2.5 )/ 5 التباين = 85 / 5 التباين = 17.