حساب زوايا المثلث

المثلث

المثلث هو شكل هندسيّ يتكوّن من ثلاثة رؤوس يربط بينها خطوط مستقيمة تسمى أضلاع المثلث، وللمثلث ثلاث زوايا ولا توجد فيه أقطار، ويكون مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث في المثلث نفسه وهي قاعدةٌ تنطبق على كل المثلثات باختلاف أنواعها، ويُرمز لرؤوس المثلث بالحروف مثل أ، ب، ج، وهناك أكثر من طريقةٍ تستخدم لحسابات المثلثات من أطوال الأضلاع، والزوايا، وهنا سنتكلم عن طرق حساب زوايا المثلثات.

طرق حساب زوايا المثلث

يمكن حساب زوايا المثلث بثلاث طرق وهي:

• عن طريق المنقلة، وهي أداة قياسٍ خاصةٍ بالزوايا، حيث يتم وضع رأس المنقلة على الزاوية، والخط المستقيم فيها على ضلع المثلث الأول الذي كوّن الزاوية، وبدء العد من الصفر عند الضلع حتى الوصول للضلع الآخر المكوّن للزاوية.
• قياس زاوية مثلث من معرفة الزاويتين الأخريين، حيث هناك قاعدةٌ رياضيةٌ تنص على أن مجموع زوايا أي مثلث مهما كان نوع أضلاعه أو زواياه يساوي 180 درجة، وبمعرفة قياس زاويتين في مثلث يتم طرح مجموعها من 180 والناتج يكون قياس الزاوية الثالثة.
• قياس الزواية باستخدام قانون الجيوب، حيث ينص هذا القانون على أنّ طول أي ضلع في مثلثٍ مقسوم على جيب الزاوية التي تقابله يساوي طول الضلع الآخر مقسوم على جيب الزاوية التي تقابله، ولتطبيق هذا القانون يجب معرفة أطول ضلعين من المثلث وقياس زاوية واحدة، لمعرفة الزوايا الأخرى.

أمثلة توضيحية:

• مثال1: المثلث (أ ب ج) فيه الزاوية أ تساوي 68 درجة، والزاوية ب تساوي 35 درجة، فما هو قياس الزاوية ج. الحل:

مجموع زوايا المثلث=180 درجة. أ+ب+ج=180 درجة. 68+35+ج=180. 103+ج=180. ج=180-103. ج=77 درجة.

• مثال2: مثلث متساوي الساقين فيه زاوية القاعدة تساوي 70 درجة، فما هو قياس نصف الزاوية الرأسية. الحل:

زوايا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساوية؛ وبالتالي قياس كل من الزاويتين القاعديتين هو 70. مجموع زوايا القاعدة= 70+70=140 درجة. زاوية الرأس=180-مجموع الزوايا القاعدية. زاوية الرأس=180-140. زاوية الرأس=40 درجة. نصف زاوية الرأس=40/2. 20 درجة.

• مثال3: المثلث ( ن و هـ) مثلثٌ متساوي الأضلاع؛ جد قياس الزوايا الثلاثة المشكلة من أضلاعه. الحل:

المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلثٌ متساوي الزوايا، وذلك حسب قانون الجيوب. بما أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة، فالبتالي قياس الزوايا يكون: 180/3=60. الزاوية ن =60 درجة. الزاوية و =60 درجة. الزاوية هـ =60 درجة.

أنواع المثلثات حسب الزوايا

• مثلث حاد الزوايا: ويسمى أيضاً بالمثلث حاد الزاوية، وهو المثلث الذي تكون جميع زواياه الثلاث حادة أي أقل من 90 درجة.
• مثلث قائم الزاوية: هو المثلث الذي توجد فيه زاويةٌ قائمةٌ، أي قياسها يساوي 90 درجة، وتكون فيه الزاويتان الأخريان دائماً حادّتين، ويسمى الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة بالوتر، ويسمى كلٌّ من الضلعين الآخرين اللذين يصنعان الزاوية القائمة بالضلع القائم.
• المثلث المنفرج الزاوية: هو المثلث الذي تكون فيه زاوية منفرجة، أي قياسها أكثر من 90 درجة، وتوجد فيه زاوية منفرجة واحدة فقط ولا يمكن أن يكون أكثر من واحدة، والزاويتان الأخريان تكونان حادتين دائماً.